De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
- Vegeu «Principi de Bernoulli» per a informació sobre l'equació en el camp de la dinàmica de fluids.
En matemàtiques, s'anomena equació diferencial de Bernoulli (o sovint equació de Bernoulli) a una equació diferencial ordinària de la forma
![{\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0df4fcdfdb40fe6b609da7321a8c1d1a63c90eb2)
Per resoldre aquesta equació, s'han de seguir els següents passos:
Dividir entre
:
(1)
Fer un canvi de variables amb
![{\displaystyle w={\frac {1}{y^{n-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9b21511da78de9ba4154652d899d02bbfdd89bb)
i
![{\displaystyle w'={\frac {(1-n)}{y^{n}}}y'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a35fc5d9a73b9fa944ee0367843716a642c2d47a)
Després de substituir, s'aconsegueix l'equació diferencial de primer ordre
(2)
que es pot resoldre fent servir el factor d'integració
![{\displaystyle M(x)=e^{(1-n)\int P(x)dx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7655c4c8bef93315dcc6ce5493de574a5066529)
Donada l'equació de Bernoulli següent
![{\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cca686bd3aaa1d121ec7d1581f169cabd4270b44)
Després de dividir per
, aconseguim
![{\displaystyle y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/203415497210f92b207e3857194da7873db4493d)
de manera que el canvi de variables és
i ![{\displaystyle w'={\frac {-y'}{y^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29223e73e17034fc7d053167a14f4902940e9ba5)
Això porta a
![{\displaystyle w'+{\frac {2}{x}}w=x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58a323496114e60be07ab0e2b259db27557e8b9c)
que es pot resoldre fent servir el factor d'integració
![{\displaystyle M(x)=e^{2\int {\frac {1}{x}}dx}=x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50bee96920a9f40bdbabf1f10d76302ad7afecd4)
Després de multiplicar les dues bandes per
es té que
![{\displaystyle w'x^{2}+2xw=x^{4},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23291298fee0b8af6c6f197c0fbcbe794f5ec662)
i es pot observar que la banda esquerra és la derivada de
(recordant que
és una funció de
). Integrant a les dues bandes, es troba
![{\displaystyle \int (wx^{2})'dx=\int x^{4}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2c69ddb3a39b1f40250ddbbb03f88100ad52f8c)
que dona
![{\displaystyle wx^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1556163419c9d087769d510809baaf9f7a0c5fc5)
![{\displaystyle {\frac {1}{y}}x^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c4284dc52a9c4c0d167a7852c79ce0888e496f4)
i finalment
![{\displaystyle y={\frac {x^{2}}{{\frac {1}{5}}x^{5}+C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6d6b118a073537b07f2d349386b9d688aa3b44f)
- Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo. McGraw-Hill. Fórmulas y tablas de matemática aplicada, 1992. ISBN 84-7615-197-7.